Mathematische Kleinigkeiten

Symbolisches Rechnen

integrator — 2006-02-06T22:17:11Z

Hmm, hab eben mal nach Texten zu Grundlagen über Symbolisches Rechnen mit dem Computer gesucht, weil ich wissen möchte, wie Mathematica & Co in Ansätzem funktionieren und muss sagen, es gibt nicht viel Material im Netz dazu (oder ich finde es nicht...). Was ich jedenfalls gefunden habe, sind drei Skripte (PDF), Einführung in das symbolische Rechnen und Grundlegende Algorithmen der Computeralgebra von Prof. Dr. H.-G. Gräbe und Symbolic Computation von Clemens Heuberger. Leider sind das beides nur 2 SWS Vorlesungen, also nicht besonders umfangreich... vielleicht kennt jemand ein paar gute Links?

Rekonstruktion von Bildern

integrator — 2006-02-01T19:58:10Z

Den GREYCstoration Algorithmus fand ich beeindruckend, er dient eigentlich zum Entrauschen von Bildern, kann aber auch anders verwendet werden, man schaue sich die reichhaltigen Demonstrationen an. Die Software dazu gibts auch, die hab ich allerdings nicht ausprobiert.

Der mathematische Hintergrund dieses Verfahren wird ebenfalls beschrieben:

GREYCSTORATION is based on state-of-the-art methods using nonlinear multi-valued diffusion PDE's (Partial Differential Equations) for image regularization.

Wer es ausführlich wissen möchte, der findet ein Paper auf der Seite: Fast Anisotropic Smoothing of Multi-Valued Images using Curvature-Preserving PDE's (by D. Tschumperlé).

Fast Factorial Functions

integrator — 2006-01-15T15:37:32Z

Diese Seite beschäftigt sich mit schnellen Algorithmen (21 Stück!) zum Berechnen der Fakultät, die man ja klassischerweise als Produkt einer (natürlichen) Zahl und allen kleineren natürlichen Zahlen definiert, also z.B.

5! = 5*4*3*2*1 = 120

Mit Java/C# Source und Benchmarks!

The Mathematics of Tsunamis

Kunstspaziergänger — 2005-02-15T20:27:45Z

The recent tragic events following the December 2004 magnitude 9.0 earthquake in the Indian Ocean have reminded us of the need for scientific understanding and modeling of complicated physical phenomena in order to prevent unnecessary loss of life from natural disasters.

Wie jeder das beste Stück vom Kuchen bekommt

integrator — 2004-01-10T16:14:53Z

Eine Gruppe von Politikwissenschaftlern hat mit mathematischen Methoden ein Rezept für das gerechte Teilen eines Kuchens entwickelt, berichtet der Online-Dienst der Fachzeitschrift "Nature". Eine entscheidende Rolle spielt dabei ein Schiedsrichter, der den Kuchen unter Berücksichtigung etwaiger Präferenzen der maximal drei Teilnehmer zerschneidet. Sollte sich danach immer noch jemand benachteiligt fühlen, verteilt der Schiedsrichter die Reststücke so, dass die empfundenen Ungerechtigkeiten ausgeglichen werden. Im Extremfall können sich die Teilnehmer auch mit Geld gegenseitig abfinden.

Mal wieder ein Artikel zum gerechten Teilen: Wie jeder das beste Stück vom Kuchen bekommt.

Wir kochen uns eine Jordanform

integrator — 2003-12-21T17:00:25Z

Die Rezepte dazu hat Daniel Winkler zusammengestellt: jnfkochrezept.pdf oder jnfkochrezept.ps.gz. [gefunden auf dem Matheplaneten]

Mathematik für IT-Sicherheit

integrator — 2003-10-01T23:56:24Z

Trotz des flächendeckenden Einsatzes von Computersystemen in sicherheitsrelevanten Bereichen fehlt bislang eine standardisierte Methode, die das fehlerfreie Funktionieren solcher Systeme garantiert. Das Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF) will nun Arbeiten fördern, bei denen mit Methoden der Verifikation der so genannte geschlossene integrierte Korrektheitsbeweis erbracht werden kann. Damit sollen sich Fehler bereits im Entwurf von autonomen oder integrierten Computersystemen erkennen und korrigieren lassen -- eine sorgfältige Spezifikation vorausgesetzt.
[Weiter bei heise.de]

System für Rubrikswürfel

integrator — 2003-08-25T16:06:15Z

Der Spiegel berichtet über das schnelle Lösen von Rubrikswürfeln und verlinkt dabei auch auf diese Seite, die einen Algorithmus dazu vorstellt.

Forscher: Zufallszahlgeneratoren sind oft fehlerhaft

integrator — 2003-08-15T22:53:27Z

Ein Artikel auf wissenschaft.de:

Die meisten in Computersimulationen eingesetzten Zufallsgeneratoren erzeugen nicht wirklich zufällige Abfolgen von Nullen und Einsen. Vielmehr folgen Nullen statistisch gesehen häufiger aufeinander ab als Einsen, so dass der Zufallsgenerator mit einem Vorurteil behaftet ist. Dies hat große Konsequenzen für Computersimulationen, die oftmals kritisch von der Genauigkeit der Zufallsreihen abhängen.
Deshalb hat wohl auch die Berechnung von Pi mittels Zufallszahlen nicht wirklich gut funktioniert...

Google 5x schneller mit linearer Algebra

integrator — 2003-05-31T08:36:30Z

Laut einem Artikel im Science Blog haben Wissenschaftler der Stanford Universität eine Methode entwickelt, um die Bewertungen für Webseiten wesentlich schneller zu errechnen.

To speed up PageRank, the Stanford team developed a trio of techniques in numerical linear algebra. First, in the WWW2003 paper, they describe so-called "extrapolation" methods, which make some assumptions about the Web's link structure that aren't true, but permit a quick and easy computation of PageRank. Because the assumptions aren't true, the PageRank isn't exactly correct, but it's close and can be refined using the original PageRank algorithm. The Stanford researchers have shown that their extrapolation techniques can speed up PageRank by 50 percent in realistic conditions and by up to 300 percent under less realistic conditions.
[Weiter beim Science Blog]

Kürzeste Wege

integrator — 2003-05-30T21:10:56Z

Es war einmal ein chinesischer Kaiser, der hiess Priori-Tii Kiu. Er wollte wissen, wie er zu jeder grossen Stadt seines Reiches auf dem schnellsten Wege gelangen könne, denn er war ein guter Kaiser; hätte es irgendwo in seinem Land gebrannt, wäre er auf dem schnellsten Wege dort und könnte den Leuten Trost spenden. Doch wie konnte er nur herausfinden, welches die schnellsten Wege in seinem Land waren?
Kürzeste Wege auf Graphen kann man mit dem Dijkstra-Algorithmus ermitteln. Eine nette Seite dazu, die das ganze auch noch in eine Geschichte verpackt, gibt es auch...

Algorithmen

integrator — 2003-05-29T08:00:10Z

Algorithmen in Hülle und Fülle findet man auf der Algorithmenseite von Jochen Schroeder, darunter auch solche wie "Berechnung der binären Darstellung der Zahl Pi" oder "Berechnung von Binomialkoeffizienten mit Rekursion in zwei Variablen ohne Fakultät". Es geht aber anscheinend nur um Algorithmen, die so im Umfeld von Informatik I Vorlesungen auftauchen.

Der Algorithmus von Kruskal

integrator — 2003-05-11T22:53:38Z

Der Algorithmus von Kruskal ist ein einfacher Algorithmus um in einem zusammenhängenden, ungerichteten Graphen einen minimalen, aufspanndenden Baum zu finden. Ein minimaler aufspannender Baum ist ein Graph, in dem zwischen zwei Knoten immer genau ein Weg existiert. Wie der Algorithmus funktioniert, ist in der Wikipedia erklärt.

Build a Smarter Search Engine

integrator — 2003-05-09T14:53:11Z

JavaPro: Build a Smarter Search Engine. Explains some concepts like the 'Nearest Neighbor Algorithm', and illustrates it in simple math. Noch ein Artikel zum Ausdrucken ? komme heute aus dem Lesen gar nicht mehr raus.
[via schockwellenreiter.de]

Prüfercode

integrator — 2003-05-05T20:05:06Z

1918 schilderte Prüfer unter dem Titel "Neuer Beweis eines Satzes über Permutationen" eine Methode um Bäume als Tupel natürlicher Zahlen zu codieren (aus denen man natürlich wieder die Bäume zu ermitteln kann), den sogenannten Prüfercodes. Wie das funktioniert, kann man auf der Seite zum Prüfercode auf mathworld.wolfram.com erfahren.