Mathematische Kleinigkeiten

James Taubers Poincaré Project

integrator — 2006-09-21T21:59:00Z

Eigentlich ist die Luft aus dem Thema ja langsam raus, aber das finde ich wirklich eine gute Idee: James Tauber arbeitet nach und nach in seinem Poincaré Project die Poincare Vermutung und den Beweis auf verständlichem Niveau auf.

I am currently working through the mathematics required to understand the Poincaré Conjecture and the possible solution recently proposed. I want to blog my journey and I'm starting out summarising the basic foundations of pure mathematics necessary to get to the conjecture-specific parts.
So weit ist er schon gekommen:

* Journey to the Poincare Conjecture
* Poincare Project: Thinking Like a Pure Mathematician
* Poincare Project: Adding Structure to Sets
* Poincare Project: Metric Spaces
* Poincare Project: Open Balls and Continuity
* Poincare Project: Open Sets
* Poincare Project: Topologies and Topological Spaces
* Poincare Project: Injections, Surjections and Bijections
* Poincare Project: Further Thoughts on Topologies and Open Sets
* Poincare Project: Homeomorphisms
* Poincare Project: Connectedness, Closed Sets and Topological Properties
* Poincare Project: A Basis for a Topology
* Poincare Project: The Standard Topology for Ordered Sets
* Poincare Project: Open Coverings and Compactness
* Poincare Project: More on Compactness
* Poincare Project: Separation Axioms
* Poincare Project: More on Separation Axioms
* Poincare Project: Manifolds
* Poincare Project: Switching from Analysis to Algebra
* Poincare Project: Associativity
* Poincare Project: Binary Operations
* Poincare Project: Identities and Monoids
* Poincare Project: Inverses
* Poincare Project: Groups
* Poincare Project: Paths
* Poincare Project: Topological Properties Revisited
* Paths as homeomorphisms of the closed interval from 0 to 1
* Homotopy
* Continuous Functions are between Topological Spaces not Sets
* Path Homotopy
* Homotopy as a Way of Distinguishing Topological Spaces
* Equivalence Relations
* Equivalence Classes
* Homotopy Classes and Simple Connectedness
* Closed Manifolds
* The Poincare Conjecture
* Number of Connected One-Dimensional Manifolds
* The Circle is Not Simply Connected
* Poincare Update

Nachtrag

integrator — 2006-08-18T08:49:00Z

Die Sache mit der Million wird wohl doch nicht so einfach, Perelman möchte den Beweis anscheinend nicht in einem Fachjournal publizieren? Schreibt jedenfalls der Deutschlandfunk

Die Poincaré-Vermutung gilt als eines der kniffligsten mathematischen Rätsel der Welt. Gleichwohl scheint der russische Mathematiker Grigori Perelman das Rätsel 2003 gelöst zu haben. Allerdings hat der sehr menschenscheue Denker seine Lösung nur mündlich und im Internet vorgestellt, eine Veröffentlichung in einem Fachjournal verweigerte er bisher. Damit läuft er Gefahr, zumindest das Preisgeld von ein Million Dollar zu verlieren, das die das Clay Mathematics Institute für den Beweis der Poincaré-Vermutung ausgesetzt hat. Offenbar haben auch schon Dritte begonnen, Blätter aus seinem akademischen Lorbeer zu zupfen.
Den Beitrag gibt es auch zum Nachhören via Flash oder als Mp3.

Der Beweis der Poincare Vermutung von 2003 ist durch

integrator — 2006-08-16T10:19:00Z

Der Beweis von von Grigori Perelman von 2003 scheint endlich bestätigt worden zu sein, scheibt die New York Times (Anmeldung erforderlich). Ich hatte den Beweis ja schon einige Male erwähnt (und dass die eine Million von der Clay Foundation damit fällig wird). Jetzt ist Perelman natürlich heisser Kandidat für die Verleihung der Fields Medallie nächste Woche. Das scheint auch seine einzige Chance zu sein, sie zu bekommen, denn der Herr ist 1966 geboren und man darf dazu nicht älter als 40 Jahre sein... [via ./]

Riemannsche Vermutung

Kunstspaziergänger — 2004-06-10T05:35:32Z

Hat Louis de Branges de Bourica die Riemannsche Vermutung bewiesen?

Ein Beweis für den Beweis?

integrator — 2003-09-03T15:34:28Z

Die Frage, wie man rundes Obst am besten stapelt, war für die ZEIT eigentlich erledigt. Damals hieß es, der US-Mathematiker Thomas Hales habe nun bewiesen, dass man Kugeln nicht platzsparender aufschichten kann als die kunstvoll aufgetürmten Orangen-Pyramiden auf dem Wochenmarkt (ZEIT 14/99). Was man an den Fruchtständen seit eh und je intuitiv wusste, hatte den Wissenschaftlern allerdings jahrhundertelang Kopfzerbrechen bereitet.
[Weiterlesen (via mathematik.de)]

Viele Beweise

integrator — 2003-08-23T10:05:31Z

findet man unter www.beweise.mathematic.de. Sie drehen sich alle um das Thema der Unendlichkeit der Menge der Primzahlen. Vor allem die unterschiedlichen Beweisführungen sind sehr interessant!

Lücke im Beweis über Primzahlverteilung

integrator — 2003-05-30T14:42:21Z

Der bereits erwähnte Beweis zur Primzahlverteilung von Goldston und Yildirim hat anscheinend eine Lücke.

Nach dem von Goldston/Yildirim im März vorgelegten Beweis gibt es in der unendlichen Folge von Primzahlen immer wieder Pärchen mit kleinen Abständen. Doch eine Abschätzung war nach den Erkenntnissen von Granville/Soundararajan in dem insgesamt 25 Seiten umfassenden Beweispapier nicht korrekt; jetzt suchen die Mathematiker fieberhaft nach einem Workaround -- ganz so wie bei fehlerhaften Prozessoren.
[Weiter bei heise.de]

Gruselig

integrator — 2003-05-04T08:54:46Z

Andrew Wiles Beweis von Fermats letztem Satz soll als pdf im Netz zu finden sein. Kanns mir leider nicht selbst ansehen, bin gerade an einem etwas altertümlichen Rechner... [via de.sci.mathematik]

Die geheime Zahl der Weisheit

integrator — 2003-03-07T15:35:02Z

Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Grenzen der Mathematik

Doch schon in den 30er Jahren zeigten die Arbeiten von Gödel, Church, Turing und anderen, daß es auch in der Mathematik Grenzen gibt. Gregory Chaitin konnte sogar zeigen, daß der reine Zufall sogar in der Mathematik zu finden ist.

Riemann Hypothesis Proved?

integrator — 2003-03-03T23:47:40Z

Has the Riemann Hypothesis finally been proved? The proof is a couple of months old, and to the best of my knowledge a Swedish newspaper is the only one to take up the story yet, so there is certainly a possibility that this is a hoax, or a less than watertight proof.
Weiter bei Slashdot.org...

Beweis gegen die Komprimierbarkeit wirklich zufälliger Daten

integrator — 2003-02-28T13:15:28Z

Theorem:
No program can compress without loss *all* files of size >= N bits, for any given integer N >= 0.

Proof:
Assume that the program can compress without loss all files of size >= N bits. Compress with this program all the 2^N files which have exactly N bits. All compressed files have at most N-1 bits, so there are at most (2^N)-1 different compressed files [2^(N-1) files of size N-1, 2^(N-2) of size N-2, and so on, down to 1 file of size 0]. So at least two different input files must compress to the same output file. Hence the compression program cannot be lossless.

Aus dem comp.compression FAQ.

Making Proof

integrator — 2003-02-12T16:30:17Z

Das Problem ist uralt, um genau zu sein, in Bayreuth ist es in diesem Jahr 20 Jahre alt: Übungen in Mathematik. Die Rechnungen sind meist kein Problem, jedoch Beweise zu führen ist schon schwieriger [...] Eigentlich aber sind sie die Quintessenz eines Studiums der Mathematik. Deshalb: Making Proof.
Der Artikel beschäftigt sich mit Beweisführung für Leute, die noch nicht so geübt darin sind (Psychologie des Beweises, Häufige Satzstrukturen, Häufige Beweisstrukturen). Vor allem gut lesbar, weil der Autor seinen Gedanken zur Mathematik teilweise freien Lauf lässt (Wie würde Mathematik ohne Zeit aussehen, nur aus Faulheit entstanden, ...). Deshalb: Making Proof.

Das Paradoxon von Banach-Tarski

integrator — 2003-02-08T10:14:29Z

Sehr lesenswerter Artikel! Gibt es als html oder pdf .

Das vielleicht verblüffendste Ergebnis der modernen, auf der Mengenlehre basierenden Mathematik ist das Paradoxon von Banach-Tarski. Es erklärt, wie eine Kugel in Teile zerlegt werden kann, welche - anders zusammengesetzt - zwei volle Kugeln ergeben, jede gleich groß wie die ursprüngliche.

Der scheinbare Widerspruch zur Tatsache, dass durch Bewegungen keine Volumina verändert werden können, löst sich auf, wenn man die Konsequenz zieht, dass die Teile in der Zerlegung so kompliziert sind, dass ihnen gar kein Volumen zugeordnet werden kann.

In diesem Artikel wird ein Beweis des Paradoxons von Banach-Tarski gebracht, der sich zwar an Wagon's Monographie [Wa 2] anlehnt, der aber kein mathematisches Wissen voraussetzt, das über den Schulstoff noch vor der Infinitesimalrechnung hinausgeht. Dementsprechend werden fundamentale Eigenschaften abzählbarer und überabzählbarer Mengen, soweit sie für den Beweis notwendig sind, im Text ausführlich besprochen. Die bei der Konstruktion der paradoxen Zerlegung involvierten Drehungen werden ohne Verwendung des Matrizenkalküls behandelt. Lediglich mit linearen Gleichungssystemen wird umgegangen, deren Interpretation als Drehungen explizit erläutert wird. Der Grenzwertbegriff kommt nur implizit über die Zifferndarstellung reeller Zahlen vor.

Anschließend an den Beweis wird noch die Bedeutung des Paradoxons in etwas größerem Kontext diskutiert.